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6.6 通过时间反向传播
在前面两节中，如果不裁剪梯度，模型将无法正常训练。为了深刻理解这一现象，本节将介绍循环神经网络中梯度的计算和存储方法，即通过时间反向传播（back-propagation through time）。
我们在3.14节（正向传播、反向传播和计算图）中介绍了神经网络中梯度计算与存储的一般思路，并强调正向传播和反向传播相互依赖。正向传播在循环神经网络中比较直观，而通过时间反向传播其实是反向传播在循环神经网络中的具体应用。我们需要将循环神经网络按时间步展开，从而得到模型变量和参数之间的依赖关系，并依据链式法则应用反向传播计算并存储梯度。
6.6.1 定义模型
简单起见，我们考虑一个无偏差项的循环神经网络，且激活函数为恒等映射（\phi(x)=x）。设时间步 t 的输入为单样本 \boldsymbol{x}_t \in \mathbb{R}^d，标签为 y_t，那么隐藏状态 \boldsymbol{h}_t \in \mathbb{R}^h的计算表达式为
\boldsymbol{h}_t = \boldsymbol{W}_{hx} \boldsymbol{x}_t + \boldsymbol{W}_{hh} \boldsymbol{h}_{t-1},
其中\boldsymbol{W}_{hx} \in \mathbb{R}^{h \times d}和\boldsymbol{W}_{hh} \in \mathbb{R}^{h \times h}是隐藏层权重参数。设输出层权重参数\boldsymbol{W}_{qh} \in \mathbb{R}^{q \times h}，时间步t的输出层变量\boldsymbol{o}_t \in \mathbb{R}^q计算为
\boldsymbol{o}_t = \boldsymbol{W}_{qh} \boldsymbol{h}_{t}.
设时间步t的损失为\ell(\boldsymbol{o}_t, y_t)。时间步数为T的损失函数L定义为
L = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \ell (\boldsymbol{o}_t, y_t).
我们将L称为有关给定时间步的数据样本的目标函数，并在本节后续讨论中简称为目标函数。
6.6.2 模型计算图
为了可视化循环神经网络中模型变量和参数在计算中的依赖关系，我们可以绘制模型计算图，如图6.3所示。例如，时间步3的隐藏状态\boldsymbol{h}_3的计算依赖模型参数\boldsymbol{W}_{hx}、\boldsymbol{W}_{hh}、上一时间步隐藏状态\boldsymbol{h}_2以及当前时间步输入\boldsymbol{x}_3。
6.6.3 方法
刚刚提到，图6.3中的模型的参数是 \boldsymbol{W}_{hx}, \boldsymbol{W}_{hh} 和 \boldsymbol{W}_{qh}。与3.14节（正向传播、反向传播和计算图）中的类似，训练模型通常需要模型参数的梯度\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hx}、\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hh}和\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{qh}。
根据图6.3中的依赖关系，我们可以按照其中箭头所指的反方向依次计算并存储梯度。为了表述方便，我们依然采用3.14节中表达链式法则的运算符prod。
首先，目标函数有关各时间步输出层变量的梯度\partial L/\partial \boldsymbol{o}_t \in \mathbb{R}^q很容易计算：
\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t} = \frac{\partial \ell (\boldsymbol{o}_t, y_t)}{T \cdot \partial \boldsymbol{o}_t}.下面，我们可以计算目标函数有关模型参数\boldsymbol{W}_{qh}的梯度\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{qh} \in \mathbb{R}^{q \times h}。根据图6.3，L通过\boldsymbol{o}_1, \ldots, \boldsymbol{o}_T依赖\boldsymbol{W}_{qh}。依据链式法则，
\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{W}_{qh}}
= \sum_{t=1}^T \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t}, \frac{\partial \boldsymbol{o}_t}{\partial \boldsymbol{W}_{qh}}\right)
= \sum_{t=1}^T \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t} \boldsymbol{h}_t^\top.
其次，我们注意到隐藏状态之间也存在依赖关系。
在图6.3中，L只通过\boldsymbol{o}_T依赖最终时间步T的隐藏状态\boldsymbol{h}_T。因此，我们先计算目标函数有关最终时间步隐藏状态的梯度\partial L/\partial \boldsymbol{h}_T \in \mathbb{R}^h。依据链式法则，我们得到
\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_T} = \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_T}, \frac{\partial \boldsymbol{o}_T}{\partial \boldsymbol{h}_T} \right) = \boldsymbol{W}_{qh}^\top \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_T}.
接下来对于时间步t < T, 在图6.3中，L通过\boldsymbol{h}_{t+1}和\boldsymbol{o}_t依赖\boldsymbol{h}_t。依据链式法则，
目标函数有关时间步t < T的隐藏状态的梯度\partial L/\partial \boldsymbol{h}_t \in \mathbb{R}^h需要按照时间步从大到小依次计算：
\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t}
= \text{prod} (\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_{t+1}}, \frac{\partial \boldsymbol{h}_{t+1}}{\partial \boldsymbol{h}_t}) + \text{prod} (\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t}, \frac{\partial \boldsymbol{o}_t}{\partial \boldsymbol{h}_t} ) = \boldsymbol{W}_{hh}^\top \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_{t+1}} + \boldsymbol{W}_{qh}^\top \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t}
将上面的递归公式展开，对任意时间步1 \leq t \leq T，我们可以得到目标函数有关隐藏状态梯度的通项公式
\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t}
= \sum_{i=t}^T {\left(\boldsymbol{W}_{hh}^\top\right)}^{T-i} \boldsymbol{W}_{qh}^\top \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_{T+t-i}}.
由上式中的指数项可见，当时间步数 T 较大或者时间步 t 较小时，目标函数有关隐藏状态的梯度较容易出现衰减和爆炸。这也会影响其他包含\partial L / \partial \boldsymbol{h}_t项的梯度，例如隐藏层中模型参数的梯度\partial L / \partial \boldsymbol{W}_{hx} \in \mathbb{R}^{h \times d}和\partial L / \partial \boldsymbol{W}_{hh} \in \mathbb{R}^{h \times h}。
在图6.3中，L通过\boldsymbol{h}_1, \ldots, \boldsymbol{h}_T依赖这些模型参数。
依据链式法则，我们有
\begin{aligned}
\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{W}_{hx}}
&= \sum_{t=1}^T \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t}, \frac{\partial \boldsymbol{h}_t}{\partial \boldsymbol{W}_{hx}}\right)
= \sum_{t=1}^T \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t} \boldsymbol{x}_t^\top,\\
\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{W}_{hh}}
&= \sum_{t=1}^T \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t}, \frac{\partial \boldsymbol{h}_t}{\partial \boldsymbol{W}_{hh}}\right)
= \sum_{t=1}^T \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t} \boldsymbol{h}_{t-1}^\top.
\end{aligned}
我们已在3.14节里解释过，每次迭代中，我们在依次计算完以上各个梯度后，会将它们存储起来，从而避免重复计算。例如，由于隐藏状态梯度\partial L/\partial \boldsymbol{h}_t被计算和存储，之后的模型参数梯度\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hx}和\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hh}的计算可以直接读取\partial L/\partial \boldsymbol{h}_t的值，而无须重复计算它们。此外，反向传播中的梯度计算可能会依赖变量的当前值。它们正是通过正向传播计算出来的。
举例来说，参数梯度\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hh}的计算需要依赖隐藏状态在时间步t = 0, \ldots, T-1的当前值\boldsymbol{h}_t（\boldsymbol{h}_0是初始化得到的）。这些值是通过从输入层到输出层的正向传播计算并存储得到的。
小结
- 通过时间反向传播是反向传播在循环神经网络中的具体应用。
- 当总的时间步数较大或者当前时间步较小时，循环神经网络的梯度较容易出现衰减或爆炸。
注：本节与原书基本相同，原书传送门