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# 6.6 通过时间反向传播

在前面两节中，如果不裁剪梯度，模型将无法正常训练。为了深刻理解这一现象，本节将介绍循环神经网络中梯度的计算和存储方法，即通过时间反向传播（back-propagation through time）。

我们在3.14节（正向传播、反向传播和计算图）中介绍了神经网络中梯度计算与存储的一般思路，并强调正向传播和反向传播相互依赖。正向传播在循环神经网络中比较直观，而通过时间反向传播其实是反向传播在循环神经网络中的具体应用。我们需要将循环神经网络按时间步展开，从而得到模型变量和参数之间的依赖关系，并依据链式法则应用反向传播计算并存储梯度。


## 6.6.1 定义模型

简单起见，我们考虑一个无偏差项的循环神经网络，且激活函数为恒等映射（$\phi(x)=x$）。设时间步 $t$ 的输入为单样本 $\boldsymbol{x}_t \in \mathbb{R}^d$，标签为 $y_t$，那么隐藏状态 $\boldsymbol{h}_t \in \mathbb{R}^h$的计算表达式为

$$
\boldsymbol{h}_t = \boldsymbol{W}_{hx} \boldsymbol{x}_t + \boldsymbol{W}_{hh} \boldsymbol{h}_{t-1},
$$

其中$\boldsymbol{W}_{hx} \in \mathbb{R}^{h \times d}$和$\boldsymbol{W}_{hh} \in \mathbb{R}^{h \times h}$是隐藏层权重参数。设输出层权重参数$\boldsymbol{W}_{qh} \in \mathbb{R}^{q \times h}$，时间步$t$的输出层变量$\boldsymbol{o}_t \in \mathbb{R}^q$计算为

$$
\boldsymbol{o}_t = \boldsymbol{W}_{qh} \boldsymbol{h}_{t}.
$$

设时间步$t$的损失为$\ell(\boldsymbol{o}_t, y_t)$。时间步数为$T$的损失函数$L$定义为

$$
L = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \ell (\boldsymbol{o}_t, y_t).
$$

我们将$L$称为有关给定时间步的数据样本的目标函数，并在本节后续讨论中简称为目标函数。


## 6.6.2 模型计算图

为了可视化循环神经网络中模型变量和参数在计算中的依赖关系，我们可以绘制模型计算图，如图6.3所示。例如，时间步3的隐藏状态$\boldsymbol{h}_3$的计算依赖模型参数$\boldsymbol{W}_{hx}$、$\boldsymbol{W}_{hh}$、上一时间步隐藏状态$\boldsymbol{h}_2$以及当前时间步输入$\boldsymbol{x}_3$。

<div align=center>
<img width="500" src="../img/chapter06/6.6_rnn-bptt.svg"/>
</div>
<div align=center>图6.3 时间步数为3的循环神经网络模型计算中的依赖关系。方框代表变量（无阴影）或参数（有阴影），圆圈代表运算符</div>


## 6.6.3 方法

刚刚提到，图6.3中的模型的参数是 $\boldsymbol{W}_{hx}$, $\boldsymbol{W}_{hh}$ 和 $\boldsymbol{W}_{qh}$。与3.14节（正向传播、反向传播和计算图）中的类似，训练模型通常需要模型参数的梯度$\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hx}$、$\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hh}$和$\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{qh}$。
根据图6.3中的依赖关系，我们可以按照其中箭头所指的反方向依次计算并存储梯度。为了表述方便，我们依然采用3.14节中表达链式法则的运算符prod。

首先，目标函数有关各时间步输出层变量的梯度$\partial L/\partial \boldsymbol{o}_t \in \mathbb{R}^q$很容易计算：

$$\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t} =  \frac{\partial \ell (\boldsymbol{o}_t, y_t)}{T \cdot \partial \boldsymbol{o}_t}.$$

下面，我们可以计算目标函数有关模型参数$\boldsymbol{W}_{qh}$的梯度$\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{qh} \in \mathbb{R}^{q \times h}$。根据图6.3，$L$通过$\boldsymbol{o}_1, \ldots, \boldsymbol{o}_T$依赖$\boldsymbol{W}_{qh}$。依据链式法则，

$$
\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{W}_{qh}} 
= \sum_{t=1}^T \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t}, \frac{\partial \boldsymbol{o}_t}{\partial \boldsymbol{W}_{qh}}\right) 
= \sum_{t=1}^T \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t} \boldsymbol{h}_t^\top.
$$


其次，我们注意到隐藏状态之间也存在依赖关系。
在图6.3中，$L$只通过$\boldsymbol{o}_T$依赖最终时间步$T$的隐藏状态$\boldsymbol{h}_T$。因此，我们先计算目标函数有关最终时间步隐藏状态的梯度$\partial L/\partial \boldsymbol{h}_T \in \mathbb{R}^h$。依据链式法则，我们得到

$$
\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_T} = \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_T}, \frac{\partial \boldsymbol{o}_T}{\partial \boldsymbol{h}_T} \right) = \boldsymbol{W}_{qh}^\top \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_T}.
$$

接下来对于时间步$t < T$, 在图6.3中，$L$通过$\boldsymbol{h}_{t+1}$和$\boldsymbol{o}_t$依赖$\boldsymbol{h}_t$。依据链式法则，
目标函数有关时间步$t < T$的隐藏状态的梯度$\partial L/\partial \boldsymbol{h}_t \in \mathbb{R}^h$需要按照时间步从大到小依次计算：
$$
\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t} 
= \text{prod} (\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_{t+1}}, \frac{\partial \boldsymbol{h}_{t+1}}{\partial \boldsymbol{h}_t}) + \text{prod} (\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t}, \frac{\partial \boldsymbol{o}_t}{\partial \boldsymbol{h}_t} ) = \boldsymbol{W}_{hh}^\top \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_{t+1}} + \boldsymbol{W}_{qh}^\top \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t}
$$

将上面的递归公式展开，对任意时间步$1 \leq t \leq T$，我们可以得到目标函数有关隐藏状态梯度的通项公式

$$
\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t} 
= \sum_{i=t}^T {\left(\boldsymbol{W}_{hh}^\top\right)}^{T-i} \boldsymbol{W}_{qh}^\top \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_{T+t-i}}.
$$

由上式中的指数项可见，当时间步数 $T$ 较大或者时间步 $t$ 较小时，目标函数有关隐藏状态的梯度较容易出现衰减和爆炸。这也会影响其他包含$\partial L / \partial \boldsymbol{h}_t$项的梯度，例如隐藏层中模型参数的梯度$\partial L / \partial \boldsymbol{W}_{hx} \in \mathbb{R}^{h \times d}$和$\partial L / \partial \boldsymbol{W}_{hh} \in \mathbb{R}^{h \times h}$。
在图6.3中，$L$通过$\boldsymbol{h}_1, \ldots, \boldsymbol{h}_T$依赖这些模型参数。
依据链式法则，我们有

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{W}_{hx}} 
&= \sum_{t=1}^T \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t}, \frac{\partial \boldsymbol{h}_t}{\partial \boldsymbol{W}_{hx}}\right) 
= \sum_{t=1}^T \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t} \boldsymbol{x}_t^\top,\\
\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{W}_{hh}} 
&= \sum_{t=1}^T \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t}, \frac{\partial \boldsymbol{h}_t}{\partial \boldsymbol{W}_{hh}}\right) 
= \sum_{t=1}^T \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t} \boldsymbol{h}_{t-1}^\top.
\end{aligned}
$$


我们已在3.14节里解释过，每次迭代中，我们在依次计算完以上各个梯度后，会将它们存储起来，从而避免重复计算。例如，由于隐藏状态梯度$\partial L/\partial \boldsymbol{h}_t$被计算和存储，之后的模型参数梯度$\partial L/\partial  \boldsymbol{W}_{hx}$和$\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hh}$的计算可以直接读取$\partial L/\partial \boldsymbol{h}_t$的值，而无须重复计算它们。此外，反向传播中的梯度计算可能会依赖变量的当前值。它们正是通过正向传播计算出来的。
举例来说，参数梯度$\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hh}$的计算需要依赖隐藏状态在时间步$t = 0, \ldots, T-1$的当前值$\boldsymbol{h}_t$（$\boldsymbol{h}_0$是初始化得到的）。这些值是通过从输入层到输出层的正向传播计算并存储得到的。


## 小结

* 通过时间反向传播是反向传播在循环神经网络中的具体应用。
* 当总的时间步数较大或者当前时间步较小时，循环神经网络的梯度较容易出现衰减或爆炸。


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> 注：本节与原书基本相同，[原书传送门](https://zh.d2l.ai/chapter_recurrent-neural-networks/bptt.html)