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# 7.7 AdaDelta算法
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除了RMSProp算法以外，另一个常用优化算法AdaDelta算法也针对AdaGrad算法在迭代后期可能较难找到有用解的问题做了改进 [1]。有意思的是，**AdaDelta算法没有学习率这一超参数**。
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## 7.7.1 算法
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AdaDelta算法也像RMSProp算法一样，使用了小批量随机梯度$\boldsymbol{g}_t$按元素平方的指数加权移动平均变量$\boldsymbol{s}_t$。在时间步0，它的所有元素被初始化为0。给定超参数$0 \leq \rho < 1$（对应RMSProp算法中的$\gamma$），在时间步$t>0$，同RMSProp算法一样计算
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$$\boldsymbol{s}_t \leftarrow \rho \boldsymbol{s}_{t-1} + (1 - \rho) \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t. $$
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与RMSProp算法不同的是，AdaDelta算法还维护一个额外的状态变量$\Delta\boldsymbol{x}_t$，其元素同样在时间步0时被初始化为0。我们使用$\Delta\boldsymbol{x}_{t-1}$来计算自变量的变化量：
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$$ \boldsymbol{g}_t' \leftarrow \sqrt{\frac{\Delta\boldsymbol{x}_{t-1} + \epsilon}{\boldsymbol{s}_t + \epsilon}} \odot \boldsymbol{g}_t, $$
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其中$\epsilon$是为了维持数值稳定性而添加的常数，如$10^{-5}$。接着更新自变量：
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$$\boldsymbol{x}_t \leftarrow \boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{g}'_t. $$
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最后，我们使用$\Delta\boldsymbol{x}_t$来记录自变量变化量$\boldsymbol{g}'_t$按元素平方的指数加权移动平均：
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$$\Delta\boldsymbol{x}_t \leftarrow \rho \Delta\boldsymbol{x}_{t-1} + (1 - \rho) \boldsymbol{g}'_t \odot \boldsymbol{g}'_t. $$
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可以看到，如不考虑$\epsilon$的影响，**AdaDelta算法跟RMSProp算法的不同之处在于使用$\sqrt{\Delta\boldsymbol{x}_{t-1}}$来替代学习率$\eta$**。
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## 7.7.2 从零开始实现
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AdaDelta算法需要对每个自变量维护两个状态变量，即$\boldsymbol{s}_t$和$\Delta\boldsymbol{x}_t$。我们按AdaDelta算法中的公式实现该算法。
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``` python
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%matplotlib inline
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import torch
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import sys
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sys.path.append("..")
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import d2lzh_pytorch as d2l
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features, labels = d2l.get_data_ch7()
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def init_adadelta_states():
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s_w, s_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
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delta_w, delta_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
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return ((s_w, delta_w), (s_b, delta_b))
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def adadelta(params, states, hyperparams):
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rho, eps = hyperparams['rho'], 1e-5
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for p, (s, delta) in zip(params, states):
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s[:] = rho * s + (1 - rho) * (p.grad.data**2)
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g = p.grad.data * torch.sqrt((delta + eps) / (s + eps))
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p.data -= g
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delta[:] = rho * delta + (1 - rho) * g * g
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```
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使用超参数$\rho=0.9$来训练模型。
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``` python
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d2l.train_ch7(adadelta, init_adadelta_states(), {'rho': 0.9}, features, labels)
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```
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输出：
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```
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loss: 0.243728, 0.062991 sec per epoch
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```
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<div align=center>
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<img width="300" src="../img/chapter07/7.7_output1.png"/>
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</div>
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## 7.7.3 简洁实现
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通过名称为`Adadelta`的优化器方法，我们便可使用PyTorch提供的AdaDelta算法。它的超参数可以通过`rho`来指定。
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``` python
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d2l.train_pytorch_ch7(torch.optim.Adadelta, {'rho': 0.9}, features, labels)
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```
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输出：
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```
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loss: 0.242104, 0.047702 sec per epoch
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```
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<div align=center>
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<img width="300" src="../img/chapter07/7.7_output2.png"/>
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</div>
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## 小结
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* AdaDelta算法没有学习率超参数，它通过使用有关自变量更新量平方的指数加权移动平均的项来替代RMSProp算法中的学习率。
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## 参考文献
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[1] Zeiler, M. D. (2012). ADADELTA: an adaptive learning rate method. arXiv preprint arXiv:1212.5701.
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> 注：除代码外本节与原书此节基本相同，[原书传送门](https://zh.d2l.ai/chapter_optimization/adadelta.html)
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